الذبذبات الحرة في دارة RLC

تفريغ مكثف في وشيعة:




1 - أنظمة الذبذبات الحرة:



ننجز التركيب التالي:
            

نشحن المكثف عند وضع القاطع k في الوضع 1، ثم نؤرجح القاطع إلى الوضع 2، فنحصل على دارة RLC متوالية، حيث يفرغ المكثف في الوشيعة.
نضع R = r' + r المقاومة الكلية للدارة. نربط y بمدخل كاشف تذبذب ذاكراتي.


* الحالة الأولى:   قيمة R صغيرة.

المنحنى المحصل عليه على شاشة كاشف التذبذب هو
            

نلاحظ أن التوتر U_c متناوب ووسعه يتناقص مع الزمن، نقول أن تفريغ المكثف تذبذبي والتذبذبات مخمدة.
هذا النظام يسمى

نظام شبه دوري

وهو يتميز بشبه دور ثابت T المدة الزمنية الفاصلة بين قيمتين قصويتين متتاليتين.


* الحالة الثانية:   قيمة R كبيرة.

المنحنى المحصل عليه هو:
            

لا توجد تذبذبات لأن الخمود مهم.

النظام لا دوري.




    

توجد قيمة R_c تفصل بين النظام شبه الدوري والنظام اللادوري، تسمى المقاومة الحرجة، في هذه الحالة نقول أن

النظام حرج.



            


* الحالة الثالثة:   R = 0

المنحنى المحصل عليه هو:
            

التوتر U_c متناوب ووسعه يبقى ثابت، نقول

النظام دوري.




2 - المعادلة التفاضلية لدارة RLC متوالية:



  
U_c + U_R + U_L = 0  ⇒  
U_c + Ri + Ldi / dt = 0

  


  


  
المقدار
هو المسؤول عن ظاهرة الخمود.



    
للحصول على المعادلة التفاضلية التي تحققها الشحنة q، نعوض U_c ب q / c





الذبذبات غير المخمدة في دارة LC مثالية:



نعتبر الدارة التالية حيث C مشحون عند t = 0
            



1 - المعادلة التفاضلية:



  
U_c + U_L = 0  ⇒  
U_c + Ldi /dt =0    ⇒    U_c + LCd²U_c / dt² = 0

  




2 - حل المعادلة:



المعادلة التفاضلية أعلاه، معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية بدون شطر ثاني وبمعاملات ثابتة. حلها يكون على الشكل التالي:

U_m وسع الذبذبات.
(2π / T₀ t + φ) الطور في اللحظة t
T₀ الدور الخاص
φ الطور عند اللحظة t = 0



3 - تحديد الثوابت T₀ و φ و U_m:




أ - تعبير الدور الخاص T₀

U_c تحقق المعادلة التفاضلية. نعوض في المعادلة، فنحصل على النتيجة:   




ب - تحديد U_m و φ




i(0) = 0   ⇒   (-2π / T₀)CU_msinφ = 0

أي أن   φ = 0 أو φ = π

من جهة أخرى   
U_c(0) = U_mcosφ = E   ⇒   cosφ = 1   ⇒   φ = 0   ⇒   U_m = E

ومنه يكون حل المعادلة هو:   
U_c(t) = Ecos(2π/T₀)t




4 - تعبير (q(t و (i(t:



   
مع    I_m = (2π/T₀)CU_m

      
مع    q_m = CU_m



انتقالات الطاقة بين المكثف والوشيعة:




1 - الطاقة في الدارة المثالية LC



تخزن في المكثف طاقة كهربائية ξ_e = 1/2 CU_c²
تخزن في الوشيعة طاقة مغناطيسية ξ_m = 1/2Li²

الطاقة الكلية المخزونة في الدارة LC هي ξ_t = ξ_e + ξ_m

في الدارة LC المثالية، لدينا
U_c + U_L =0

  


نضرب في i

  

  

  

  
⇒   dξ_t/dt = 0   ⇒   ξ_t = Cste

يتبين أن الطاقة الكلية المخزونة في دارة مثالية LC ثابتة.



2 - الطاقة في دارة RLC متوالية:



الطاقة الكلية في دارة RLC متوالية، في كل لحظة هي مجموع الطاقة المخزونة في المكثف والطاقة المخزونة في الوشيعة
ξ_t = ξ_e + ξ_m

ξ_t = 1/2q²/C + 1/2Li²
تغير الطاقة الكلية خلال مدة dt هو  


علما أن i=dq/dt
      


المعادلة التفاضلية التي تحققها q هي  


      


      


نضرب في i فنحصل على  


اي أن  
dξ_t/dt = -Ri²


نستنتج أن الطاقة الكلية في دارة RLC متوالية تتناقص على شكل مفعول جول في الموصل الأومي.




3 - صيانة التذبذبات:




لصيانة التذبذبات في دارة RLC متوالية، يجب تزويد الدارة بطاقة تعادل
الطاقة المستهلكة في الموصل الأومي. يتم ذلك بالتركيب الإلكتروني التالي،
حيث أن تغذية التركيب الإلكتروني هي التي تزود الدارة بالطاقة الضرورية.

            


التركيب الإلكتروني يلعب دور مقاومة سالبة.

قانون إضافية التوترات، يصبح

U_c + U_L + U_r + U_R[sub]0[/sub] = 0

U_R[sub]0[/sub] = -R₀ i

تصبح المعادلة

U_c + U_L + ri - R₀i = 0

عندما نضبط R₀ بحيث R₀ = r

تصبح المعادلة

U_c + U_L = 0

أي أن الدارة تتصرف كدارة LC مثالية، أي النظام دوري.